Trọng tâm là gì? Tính chất trọng tâm ra sao? Trọng tâm của tam giác vuông, trọng tâm của tứ diện, trọng tâm hình thang như thế nào?…. Mời các bạn cùng mayruaxegiadinh.com.vn tìm hiểu chi tiết về tính chất trọng tâm trong bài viết dưới đây nhé!
Contents
Trọng tâm là gì?
Trong một tam giác thì giao điểm của ba đường trung tuyến đi từ 3 đỉnh của hình tam giác chính là trọng tâm của tam giác đó. Nghĩa là từ ba đỉnh của tam giác khi ta kẻ nối từ các đỉnh sang cạnh đối diện sẽ cho 3 đường trung tuyến, 3 đường trung tuyến này sẽ gặp nhau tại một điểm và điểm giao đó được gọi là trọng tâm của tam giác.
Để dễ hiểu hơn thì ta xét tam giác ABC: Từ đỉnh A,B,C ta kẻ lần lượt sang các cạnh đối diện BC, AC, AB được các trung điểm là D, E, F. Các đoạn thẳng AD, BE, CF được gọi là các đường trung tuyến giao nhau tại điểm G và khi đó G chính là điểm trọng tâm của tam giác.
Cách xác định trọng tâm tam giác
Một số tính chất trọng tâm của tam giác quan trọng cần phải lưu ý như sau: “Khoảng cách từ trọng tâm tam giác đến 3 đỉnh của tam giác bằng ⅔ độ dài của đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó”.
Theo tính chất này mà ta có thể xác định trọng tâm của tam giác bằng 2 cách dưới đây. Ta xét ví dụ với tam giác ABC có 3 đường trung tuyến lần lượt là AD, BE, CF và G là trọng tâm của tam giác ABC.
Cách 1:
- Trên cạnh BC xác định điểm D sao cho D chia BC thành 2 đoạn thẳng bằng nhau: DB = DC hay D là trung điểm của BC.
- Từ đỉnh A nối với D ta được đường trung tuyến AD.
- Thực hiện xác định trung điểm E, F của đoạn AC và AB tương tự như điểm D, ta được các đường trung tuyến là BE và CF.
- Giao điểm của 3 đường trung tuyến AD, BE, CF được gọi là điểm G. Từ đó ta cần chứng minh được G là trọng tâm của tam giác ABC.
Cách 2:
- Xác định trung điểm D của cạnh BC sao cho điểm D chia BC thành 2 đoạn bằng nhau DB = DC.
- Từ đỉnh A nối với trung điểm D của cạnh BC, ta được đường trung tuyến AD.
- Trên đường trung tuyến AD vừa xác định trên ta chọn điểm G sao cho AG = ⅔ AD.
- Dựa trên tính chất trọng tâm tam giác ta có thể kết luận rằng G chính là trọng tâm của tam giác ABC.
Trọng tâm của một số hình đặc biệt
Trọng tâm tam giác vuông
Trọng tâm của tam giác vuông cũng được xác định tương tự như cách xác định trọng tâm của tam giác thường.
Xét tam giác MNP vuông tại M, 3 đường trung tuyến lần lượt là MD, NE, PF giao nhau tại điểm O. Vì MD là đường trung tuyến ứng với góc vuông PMN nên ta có: MD = ½ PN = DP = DN.
Trọng tâm trong tam giác cân
Ví dụ minh họa để tìm hiểu trọng tâm trong tam giác cân ta xét tam giác ABC cân tại A và có trọng tâm là điểm G. Vì tam giác ABC cân tại A cho nên AG là đường trung tuyến đồng thời cũng là đường cao, đường phân giác. Từ đó ta có thể suy ra được hệ quả của trọng tâm tam giác ABC cân tại A như sau:
- góc BAD = góc CAD
- Đường trung tuyến AD vuông góc với cạnh đáy BC.
Trọng tâm của tam giác vuông cân
Để xác định trọng tâm của tam giác vuông cân ta cần thực hiện lần lượt như dưới đây:
Xét tam giác ABC vuông cân tại A và có trọng tâm I. Tương tự như ví dụ minh họa tam giác cân ta đã tìm hiểu ở trên thì AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, đường trung trực của tam giác ABC vì thế: AM vuông góc với BC.
Ngoài ra, tam giác ABC vuông cân tại A nên ta có: AB = AC.
=> BP = CN và BN = AN = CP = AP.
Trọng tâm trong tam giác đều
So với những tam giác khác thì trọng tâm của tam giác đều có chút đặc biệt hơn. Cùng theo dõi ví dụ sau đây để tìm hiểu về điều đặc biệt này nhé!
Xét tam giác đều ABC với G là giao điểm của 3 đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao của tam giác. Do đó, theo tính chất của tam giác đều ta có G là trọng tâm đồng thời là trực tâm và là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.
Trọng tâm của tứ diện
Ngoài trọng tâm của tam giác thì học sinh sẽ được tiếp xúc với các loại trọng tâm khó hơn tại các bậc học cao hơn và điển hình nhất đó chính là các dạng trọng tâm của tứ diện.
Xét hình tứ diện MNPQ có I là trọng tâm. Trọng tâm I của tứ diện MNPQ chính là giao điểm của 4 đường thẳng nối từ 4 đỉnh của tứ diện lần lượt tới trọng tâm của các tam giác đối diện với nhau.
Chú ý: Chúng ta không có khái niệm trọng tâm hình thang mà chúng quy về trọng tâm của tứ diện để xác định.
Bài tập áp dụng
Để hiểu rõ hơn về tính chất trọng tâm, bạn có thể tham khảo bài tập như sau: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM = CN. Hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại điểm G. Hãy chứng minh cho tam giác ABC là tam giác cân tại A.
Bài giải:
Ta có tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN giao nhau tại G => BG/BM = ⅔
BM = CN => BG = CN và GN = GM.
Trong tam giác BNG và tam giác CGM ta có: BG = CN, GN = GM và góc BGN = góc CGM ( 2 góc đối đỉnh).
Như vậy, hai tam giác BNG và CGM là hai tam giác đồng dạng => BN = CM => AB = AC. Vì thế tam giác ABC vuông cân tại A.
Kết Luận
Như vậy, từ phần kiến thức cũng như bài tập luyện tập mà mayruaxegiadinh.com.vn vừa chia sẻ phía trên hy vọng giúp bạn hiểu trọng tâm là gì? cũng như tính chất trọng tâm, cách xác định trọng tâm của tam giác và các hình đặc biệt khác. Và qua đó có thể vận dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến tính chất trọng tâm.
